Belajar estimasi non-linear Constant Elasticity of Substitution (CES) pakai ADMB

baru-baru ini saya menemukan software gratisan bernama ADMB. Software ini fungsinya untuk mengestimasi regresi non-linear. Saya perlu estimasi regresi non-linear untuk dapet parameter elastisitas yang bukan 1.

Contoh yang dipakai oleh ADMB untuk Robust Linear Regression adalah model (von Bertalanffy) growth curve yaitu:

$$s(a)=L_{\mathrm{\infty }}(1-exp(-K(a-t_0)))$$

Di mana parameter yang mau diestimasi oleh model di atas adalah $$L_{\mathrm{\infty }}$$, $$K$$ dan $$t_0$$. Katakanlah data yang diobservasi di lapangan adalah $$O_i$$ dan $$a_i$$, dan kita mau memprediksi $$O_i$$ pakai $$s(a_i)$$, maka ADMB harus meminimisasi jarak antara $$O_i$$ dan $$s(a_i)$$:

$$\underset{L_{\mathrm{\infty }},K,t_0}{min}\sum _i(O_i-s(a_i){)}^2$$

Yang perlu saya lakukan adalah mengubah model $\text{???}$ ke fungsi Constant Elasticity of Substitution:

$$Y=\gamma {\left(\sum _{i=1}^n{\delta }_i{X}_i^{\rho }\right)}^{-\frac{\upsilon }{\rho }}$$

tapi tentu saja versi yang sudah di-natural log sehingga menjadi:

$$\ln Y=\ln \gamma -\left(\frac{\upsilon }{\rho }\right)\ln \left(\sum _{i=1}^n{\delta }_i{X}_i^{\rho }\right)$$

jadi saya harus meng-alter persamaan $\text{???}$ di contohnya ADMB ke persamaan yang saya inginkan yaitu $\text{???}$. di $\text{???}$, observablenya adalah $$\ln Y$$ dan $$x_i$$. Selain itu, sisanya yang hurup yunani itu adalah parameter. Saya harus pakai tebakan dulu nih kayaknya. Tebakan paling safe sih salah satunya adalah memakai $$\rho =1$$ biar jadi Cobb-Douglass wkwkwk. Dah gitu sepertinya saya harus me-restriksi $$\sum _i{\delta }_i=1$$.

Berhubung hari ini dah capek. Besok tak lanjut lagi wkwkkw.